考研数学公式速查

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常用麦克劳林展开与常用等价无穷小 #

当 $x\to 0$ 时，

• $\mathrm{e}^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots$；

  • $x\sim \mathrm{e}^x-1$；
  • $a$ 是常数，则 $a^x=1+x\ln a+\dfrac{x^2\ln^2a}{2!}+\cdots$。

• $\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots$；

  • $x\sim\ln(1+x)$；
  • $a$ 是常数，则 $\log_a(1+x)=\dfrac{x}{\ln a}-\dfrac{x^2}{2\ln^2a}+\cdots$。

• $(1+x)^n=1+nx+\dfrac{n(n-1)}{2!}x^2+\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\cdots$；

  • $(1+x)^n\sim1+nx$；
  • 将 $x$ 替换为 $-x$，得到 $(1-x)^n=1-nx+\dfrac{n(n-1)}{2!}x^2-\cdots$。

• $\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$；

  • 即是等比数列求和公式；
  • 将 $-x$ 替换为 $x$，得到 $\dfrac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$。

• $\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots$；

  • $x\sim\sin x$；
  • $x-\sin x\sim\dfrac{1}6x^3$。
    

• $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots$；

  • $\cos x\sim1-\dfrac{x^2}{2}$。

• $\tan x=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{15}x^5+\cdots$；

  • 通项非常复杂，记住 $\dfrac{1}3$ 和 $\dfrac{2}{15}$ 就行；
  • $x\sim\tan x$；
  • $x-\tan x\sim-\dfrac{1}3x^3$；
  • $\sin x-\tan x\sim-\dfrac{1}2x^3$。

• $\arcsin x=x+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{3x^5}{40}+\cdots$；

  • 同样地，通项非常复杂，记住 $\dfrac{1}{6}$ 和 $\dfrac{3}{40}$ 就行；
  • $x\sim\arcsin x$；
  • $x-\arcsin x\sim-\dfrac{1}{6}x^3$；
  • 由诱导公式得 $\arccos x=\dfrac{\pi}{2}-\arcsin x$。

• $\arctan x=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots$。
  

  • $x\sim\arctan x$；
  • $x-\arctan x\sim-\dfrac{x^3}{3}$。
    

常用结构求导 #

常见函数的导函数公式这里不再整理。下面是一些常见结构的求导。

• $\left(\dfrac{1}{x}\right)’=-\dfrac{1}{x^2}$；

• $(\sqrt{x})’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$；

• $(xf(x))’=f(x)+xf’(x)$；

  特别地，$(x\mathrm{e}^x)’=(x+1)\mathrm{e}^x$，而 $(x\ln x)’=\ln x+1$。

  如果将「$+$」换成「$-$」，考虑 $\left(\dfrac{f(x)}{x}\right)’=\dfrac{xf’(x)-f(x)}{x^2}$。

• $\left(\ln(x+\sqrt{a+x^2})\right)’=\dfrac{1}{\sqrt{a+x^2}}$，其中 $a$ 是常数。

  有等价无穷小：当 $x\to 0$ 时，$x\sim\ln(x+\sqrt{1+x^2})$。

• $(\dfrac{1}2f^2(x))’=f(x)f’(x)$；

  可以构造出原函数与函数自己的乘积项。

• $\left(x+\dfrac{1}x\right)’=1-\dfrac{1}{x^2}$

  积分常用。

常用不定积分（一） #

以下积分公式是由常见函数的导函数公式直接得来的。

• $\int0\mathrm{d}x=C$；
  
• $\int 1\mathrm{d}x=x+C$；
• $\int x^\mu\mathrm{d} x=\dfrac{1}{\mu+1}x^{\mu+1}+C$，其中 $\mu\ne-1$；
• $\int\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln|x|+C$，其中 $x\neq0$；
• $\int a^x\mathrm{d}x=\dfrac{1}{\ln a}a^x+C$，其中 $a>0, a\ne 1$；
• $\int\mathrm{e}^x\mathrm{d}x=\mathrm{e}^x+C$；
• $\int\sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C$；
• $\int\cos x\mathrm{d} x=\sin x+C$；
• $\int\sec^2x\mathrm{d}x=\tan x+C$；
• $\int\csc^2x\mathrm{d}x=-\cot x+C$；
• $\int\sec x\tan x\mathrm{d}x=\int\dfrac{\sin x}{\cos^2x}\mathrm{d}x=\sec x+C$；
• $\int\csc x\cot x\mathrm{d}x=\int\dfrac{\cos x}{\sin^2x}\mathrm{d}x=-\csc x+C$；
• $\int\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$；
• $\int\dfrac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C$。
  

常用不定积分（二） #

以下积分公式是由三角函数变换得到的。

• $\int\tan x\mathrm{d}x=-\ln|\cos x|+C$；

  推导：$\int\tan x\mathrm{d}x=\int\dfrac{\sin x}{\cos x}\mathrm{d}x=\int\dfrac{-\mathrm{d}\cos x}{\cos x}=-\ln|\cos x|+C$。

  少见的 $\tan x$ 和 $\cos x$ 配对。

• $\int\cot x\mathrm{d}x=\ln|\sin x|+C$；

  推导：$\int\cot x\mathrm{d}x=\int\dfrac{\cos x}{\sin x}\mathrm{d}x=\int\dfrac{\mathrm{d}\sin x}{\sin x}=\ln|\sin x|+C$。

• $\int\sec x\mathrm{d}x=\ln|\sec x+\tan x|+C$；

  推导如下：

  $$ > \begin{aligned}\int\sec x\mathrm{d}x&=\int\dfrac{1}{\cos x}\mathrm{d}x=\int\dfrac{\cos x}{\cos^2x}\mathrm{d}x=\int\dfrac{\mathrm{d}\sin x}{1-\sin^2x}\\&=\dfrac{1}2\int\left(\dfrac{1}{1-\sin x}+\dfrac{1}{1+\sin x}\right)\mathrm{d}\sin x\\&=\dfrac{1}2\ln\left|\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+C=\dfrac{1}2\ln\left|\dfrac{(1+\sin x)^2}{\cos^2x}\right|+C\\&=\ln\left|\dfrac{1}{\cos x}+\dfrac{\sin x}{\cos x}\right|+C=\ln|\sec x+\tan x|+C。\end{aligned} > $$

• $\int\csc x\mathrm{d}x=\ln|\csc x-\cot x|+C$；

  推导如下：

  $$ > \begin{aligned}\int\csc x\mathrm{d}x&=\int\dfrac{1}{\sin x}\mathrm{d}x=\int\dfrac{\sin x}{\sin^2x}\mathrm{d}x=-\int\dfrac{\mathrm{d}\cos x}{1-\cos^2x}\\&=-\dfrac{1}2\int\left(\dfrac{1}{1-\cos x}+\dfrac{1}{1+\cos x}\right)\mathrm{d}\cos x\\&=-\dfrac{1}2\ln\left|\dfrac{1+\cos x}{1-\cos x}\right|+C=\dfrac{1}2\ln\left|\dfrac{(1-\cos x)^2}{\sin^2x}\right|+C\\&=\ln\left|\dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{\cos x}{\sin x}\right|+C=\ln|\csc x-\cot x|+C。\end{aligned} > $$

• $\int\dfrac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}=\dfrac{1}a\arctan\dfrac{x}{a}+C$；
  

  推导：$\int\dfrac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}=\dfrac{1}{a}\int\dfrac{\mathrm{d}\dfrac{x}{a}}{\left(\dfrac{x}{a}\right)^2+1}=\dfrac{1}a\arctan\dfrac{x}{a}+C$。
  

• $\int\dfrac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}=\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C$；

  推导：$\int\dfrac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}=\dfrac{1}{2a}\int\left(\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x-a}\right)\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C$。

• $\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \mathrm{d}x=\arcsin \dfrac{x}a+C$；

  推导：$\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\int\dfrac{\mathrm{d}\dfrac{x}{a}}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x}{a}\right)^2}}=\arcsin\dfrac{x}{a}+C$。也可考虑另外一种做法。构造下面这个直角三角形：

  ​

  其中 $t\in\left(-\dfrac{\pi}2, \dfrac{\pi}2\right)$，则 $x=a\sin t, \sqrt{a^2-x^2}=a\cos t$。于是，$\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\int\dfrac{1}{a\cos t}\cdot a\cos t\mathrm{d}t=t+C=\arcsin{\dfrac{x}{a}}+C$。

• $\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\mathrm{d}x=\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$；

  先考虑取 $+$ 的情况。构造下面的直角三角形：

  ​

  令 $x=a\tan t$，其中 $t\in\left(-\dfrac{\pi}2, \dfrac{\pi}2\right)$。有 $\sqrt{x^2+a^2}=a\sec t$。则 $\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm{d}x=\int\dfrac{1}{a\sec t}\cdot a\sec^2t\mathrm{d}t=\int\sec t\mathrm{d}t=\ln|\sec t+\tan t|+C_1$。又 $\sec t=\dfrac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}$，$\tan t=\dfrac{x}a$，所以上式变为 $\ln\left|\dfrac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a}\right|+C_1$。将分母的 $a$ 划入常数项，得到 $\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$。

  取 $-$ 的情况类似。

• $\int\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\dfrac{x}2\sqrt{a^2-x^2}+\dfrac{a^2}2\arcsin\dfrac{x}a+C$；

  构造下面的直角三角形：

  ​

  有 $t\in\left(-\dfrac{\pi}2, \dfrac{\pi}2\right)$，容易得到 $x=a\sin t, \sqrt{a^2-x^2}=a\cos t$。有

  $$ > \begin{aligned} \int\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x&=a^2\int\cos^2t\mathrm{d}t=\dfrac{a^2}{2}\int\dfrac{\cos 2t+1}{2}\mathrm{d}t\\ &=\dfrac{a^2}{4}\left(\sin2t+2t\right)=\dfrac{a^2t}{2}+\dfrac{a^2\sin2t}{4}，\end{aligned} > $$

  而 $t=\arcsin\dfrac{x}{a}$，$\sin2t=2\sin t\cos t=\dfrac{2x\sqrt{a^2-x^2}}{a^2}$，代入得到答案。

• $\int\sqrt{x^2\pm a^2}\mathrm{d}x=\dfrac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}\pm\dfrac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$；

  这里只计算取 $+$ 的情况。构造下面的直角三角形：

  

  其中 $t\in\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}2\right)$，有 $\sqrt{x^2+a^2}=a\sec t, x=a\tan t$。故

  $$ > \begin{aligned} \int\sqrt{x^2+a^2}\mathrm{d}x&=\int a\sec t\cdot a\sec^2t\mathrm{d}t=a^2\int\sec^3t\mathrm{d}t\\&= \dfrac{a^2}{2}(\tan t\sec t+\ln|\tan t+\sec t|)+C，\end{aligned} > $$

  其中 $\tan t=\dfrac{x}{a}$，$\sec t=\dfrac{\sqrt{x^2+a^2}}{x}$。代入得到结果。

  $\int\sec^3 t\mathrm{d}t$ 用分部积分法求。记 $I=\int\sec^3t\mathrm{d}t$，得到

  $$ >> \begin{aligned} >> I&=\int\sec^3t\mathrm{d}t=\int\sec t\mathrm{d}\tan t=\sec t\tan t-\int\tan t\mathrm{d}\sec t \\ >> &=\sec t\tan t-\int\tan^2t\sec t\mathrm{d}t=\sec t\tan t-\int\dfrac{\sin^2t}{\cos^3t}\mathrm{d}t\\&=\sec t\tan t-\int\dfrac{1-\cos^2t}{\cos^3t}\mathrm{d}t=\sec t\tan t-\int\sec^3t\mathrm{d}t+\int\sec t\mathrm{d}t \\ >> &=\sec t\tan t-I+\ln|\sec t+\tan t|+C_1， >> \end{aligned} >> $$

  于是 $I=\dfrac{1}{2}(\sec t\tan t+\ln|\sec t+\tan t|)+C$。

  当然这个式子本身也可以直接使用分部积分法计算：

  $$ > \begin{aligned} \int\sqrt{x^2+a^2}\mathrm{d}x&=x\sqrt{x^2+a^2}-\int\dfrac{x^2\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+a^2}}=x\sqrt{x^2+a^2}-\int\dfrac{(x^2+a^2-a^2)\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+a^2}} \\&=x\sqrt{x^2+a^2}-\int\sqrt{x^2+a^2}\mathrm{d}x+a^2\int\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+a^2}}\\&=x\sqrt{x^2+a^2}+a^2(\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C_1)，\end{aligned} > $$

  于是直接得到结果。
  

分部积分法常见结构 #

对于指数函数、三角函数、幂函数，它们作为 $u$ 即「移出」的一方。

• $\mathrm{e}^{ax}\sin bx$ 和 $\mathrm{e}^{ax}\cos bx$；

  考虑指数函数求导为自身的特性。以前者为例，有 $\int\mathrm{e}^{ax}\sin bx\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}\mathrm{e}^{ax}\sin bx-\dfrac{b}{a}\int\mathrm{e}^{ax}\cos bx\mathrm{d}x$。再对 $\dfrac{b}a\int \mathrm{e}^{ax}\cos bx\mathrm{d}x$ 用一次分部积分即可解出。

• $P_m(x),\mathrm{e}^{ax}$，其中 $P_m(x)$ 表示 $m$ 次多项式；

  $\int P_m(x),\mathrm{e}^{ax}=\dfrac{1}{a}\mathrm{e}^{ax}P_m(x)-\dfrac{1}{a}\int P_{m-1}(x),\mathrm{e}^{ax}\mathrm{d}x$，然后继续解后半部分。

• $P_m(x)\sin bx$ 和 $P_m(x)\cos bx$；

  利用 $\sin x$ 和 $\cos x$ 求导得对方的性质。$\int P_m(x)\sin bx\mathrm{d}x=-P_m(x)\dfrac{1}b\cos bx+\dfrac{1}{b}\int P_{m-1}(x)\cos bx\mathrm{d}x$，然后继续解后半部分。

对于对数函数、反三角函数，它们作为 $v$ 即「移入 $\mathrm{d}$ 的一方」，因为它们的导数比自己简单。

• $P_m(x)(\ln x)^n$；

  $\int P_m(x)(\ln x)^n\mathrm{d}x=P_{m+1}(x)(\ln x)^n-n\int P_m’(x)(\ln n)^{n-1}\mathrm{d}x$，然后继续解后半部分。
  

• $P_m(x)\arctan x$；

  $\int P_m(x)\arctan x\mathrm{d}x=P_{m+1}(x)\arctan x-\int \dfrac{P_{m+1}(x)}{1+x^2}\mathrm{d}x$，然后解后半部分。

多项式分式的积分 #

假定分母都不能再因式分解。

• $\int\dfrac{\mathrm{d}x}{x^2+px+q}$，分母配方，分子化为 $\mathrm{d}(x+c)$，用 $\arctan x$ 处理。
• $\int\dfrac{x+c}{x^2+px+q}\mathrm{d}x$，分子化为 $\mathrm{d}(x^2+px+q)$。
  
  

万能代换 #

对于三角函数有理式（三角函数的四则运算），可以用半角公式代换。令 $u=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)$，则

记住分母是 $(1+u^2)$。

定积分常用公式 #

• $$\int\limits_0^{\pi/2}\sin^nx=\int\limits_0^{\pi/2}\cos^nx=\left\{\begin{aligned}&\dfrac{(n-1)(n-3)\cdots2}{n(n-2)(n-4)\cdots3}, n=2k+1，\\&\dfrac{(n-1)(n-3)\cdots1}{n(n-2)(n-4)\cdots2}\cdot\dfrac{\pi}{2},n=2k；\end{aligned}\right.$$
• $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi}$